1. SÉRIE - říjen (řešení)

Prima/Sekunda   Tercie/Kvarta   1.ročník/2.ročník/Kvinta/Sexta   3.ročník/4.ročník/Septima/Oktáva


Prima/Sekunda

  1.  Výkopové práce
Jeden dělník může vykopat studnu hlubokou 2 m a o průměru 1 m za čtyři hodiny.
> Za jak dlouho takovou studnu vykope 8 dělníků?
  2.  Čtyři čtyřky
> Napište čísla od 1 do 10 právě čtyřmi čtyřkami za pomocí sčítání, odečítání, dělení a násobení.

Řešení
Logicky nemá uloha smysl: osm dělníků nemůže kopat studnu o průměru 1 m. (A pro úplnost jen dodávám, že kdyby to přeci jenom šlo, tak by to bylo za 1/8 ze čtyř hodin, což je přesně půl hodiny.)
1 = 44/442 = 4/4 + 4/43 = 4 + 4 + 4/44 = 4 + 4 - 4/45 = 4x4 + 4/4
6 = 4 + 4 + 4/47 = 4 + 4 - 4/48 = 4 + 4 + 4 - 49 = 4 + 4 + 4/410 = 44 - 4/4.


Tercie/Kvarta

  1.  Dnešek
Kdyby den popozítří byl včera, byl by dnešek tak daleko od neděle jako je den, který by byl dnes, kdyby den předevčírem byl zítra.
> Který je dnes den?
  2.  Neposedná moucha
Po automobilové dálnici Moskva - Simferopol vyjeli současně proti sobě dva trénující cyklisté. V okamžiku, kdy už byli od sebe vzdáleni jen 300 kilometrů, začala se o jejich jízdu velmi zajímat jedna moucha. Vzlétla ze zad jednoho z cyklistů, předhonila ho a uháněla vstříc druhému. Když ho potkala a přesvědčila se, že je všechno v pořádku, hned se zase obrátila nazpět, doletěla k prvnímu cyklistovi a znovu se vrátila k druhému. Tak létala mezi přibližujícími se cyklisty tak dlouho, dokud se oba jezdci nesetkali. Pak se upokojila a sedla jednomu z nich na nos. Moucha létá mezi cyklisty rychlostí 100 km za hodinu, kdežto cyklisté jeli celou tu dobu rychlostí 50 km za hodinu.
> Kolik kilometrů moucha uletěla?

Řešení
Zadání této úlohy je napsáno tak, aby vás co nejvíce zmátlo, proto se zde oplatí postupovat maximálně systematicky. Proto si za pojem "dnešek" označme proměnnou x a dále se budeme bavit o dnech obecně.

1) Kdyby den popozítří..... dnes je x, zítra x + 1, pozítří x + 2 a popozítří je x + 3
2) ...byl včera..... neboli x + 3 je včera, proto dnes1 je x + 4
3) ...den, kdyby den předevčírem..... dnes je x, včera je x - 1, předevčírem je x - 2
4) ...byl zítra..... neboli x - 2 je zítra, dnes2 je x - 3

Teď už si jen stačilo všimnout (nebo zkusit), že dnes1 je od dnes2 vzdálen o 7 dní a to znamená, že tyto dny jsou ve svém označení (po, út, ..., ne) totožné, proto je taky každý z nich stejně vzdálený od neděle. Tudíž stačilo odpovědět, že dle zadání se nedá přesně určit, který den je dnes, a samozřejmě aspoň náznakově dokázat, jak jste na své tvrzení přišli.
Na první pohled se zdá, že úloha je složitá a vyžaduje složité úvahy. Když se však zamyslíte, snadno přijdete na to, že moucha létala bez přestání rovné tři hodiny a uletěla tedy 300 km.


1.ročník/2.ročník/Kvinta/Sexta

  1.  Sklenice v sudu
Ve víku sudu jsou symetricky vyvrtány čtyři otvory. Pod každým otvorem je v sudu jedna sklenice, je postavena vždy buď dnem dolů nebo dnem vzhůru. Dovnitř do sudu není vidět. Vaším úkolem je dosáhnout takového stavu, aby byly všechny čtyři sklenice umístěny stejně (je jedno, zda dnem dolů nebo dnem vzhůru). Až tohoto stavu dosáhnete, sud to sám pozná a dá vám najevo (například blikáním, pískáním čí jinými projevy radosti), že jste úkol splnili. Při rovnání sklenic můžete opakovaně provádět pouze tyto tahy: Sáhnete do libovolných dvou otvorů v sudu rukama, nahmatáte sklenice a zjistíte, jak stojí. Na základě tohoto zjištění se rozhodnete a žádnou, jednu nebo obě sklenice otočíte do opačné polohy. Pak ruce vytáhnete a pokud není úkol splněn, sud se na chvíli roztočí, takže ztratíte přehled, do kterých otvorů jste naposledy sahali.
> Je možné dosáhnout vítězství vždy konečným počtem tahů? Jaký je minimální počet tahů? Jak postupovat?
  2.  Rébus s mínusem
> Rozluštěte algebrogram (druh rébusu), kdy platí, že různá písmena zastupují různé číslice:

                                M I N U S
                              x M I N U S
                                ---------
                                * * * * S
                            * * * * * U
                            * * * * N
                          * * * * I
                        M I N U S
                        -----------------
                        * * * * * * * * *
                   

Řešení
Pro naše obecné řešení budeme předpokládat vždy to nejnepříznivější šáhnutí (rotace sudu), tudíž je jasné, že vždy budeme muset střídat šáhnutí do úhlopříčky či do strany v našem schématu otvoru.

Před prvním šáhnutím do otvorů nevíme, jaké je původní postavení.
1) Šáhneme do úhlopříčky a otočíme skleničky jedním směrem, např. dnem vzhůru (bílá barva).
2) Vyzkoušíme stranu a otočíme neotočené skleničky do následující polohy.
3) Nyní šáhneme do úhlopříčky a samozřejmě, že nedostaneme tu, ve které je špatně otočená sklenička, proto učiníme následují tah, kdy otočíme jednu skleničku dnem dolů neboli do obvyklého postavení tohoto nádobí.
4) A opět do strany, kterou dostaneme tak, že budeme mit v každé ruce různě otočené skleničky, protože jinak bychom je jednoduše otočili a bylo po srandě. Ovšem i tomto nepříznivém rozpoložení jsme schopni otočit obě skleničky naopak, čím dostaneme tuto situaci.
5) V posledním kroku naposledy šáhneme do úhlopříčky a... máme vyhráno.

Myšlenkový postup:
- M = 1, protože M * MINUS = MINUS
- S2 = S (zjednodušeně; jinak S2 = 10k + S, k je přirozené číslo), čili S........0, 5, 6
- jelikož S * S = S, U * S = U, N * S = N, I * S = I, pak S = 6 a I, N a U jsou z čísel 2, 4 a 8
- při násobení čísla MINUS číslicí U dostáváme jako jediné číslo šesticiferné, čili U je největší: U = 8
- nyní stačí zjistit, jestli I = 2 a N = 4 nebo naopak a to provedeme např. tak, že číslem U (8) vynásobíme číslo MINUS pro I = 2 a N = 4 (12486) - pokud dostaneme šesticiferné číslo, tak hledané číslo je právě 12486, jestli ne, tak hledané číslo je 14286 (I = 4 a N = 2)
- pro první z čísel dostaneme pěticiferné číslo a pro druhé šesticiferné, čili správná kombinace je pro I = 4 a N = 2, čili hledané číslo je číslo 14286


3.ročník/4.ročník/Septima/Oktáva

  1.  Lewis Carroll: Zamotaný příběh - Pomatená Matylda
(alias Charles Lutwidge Dodgson, autor Alenky v říši divů)
Matylda a její neteř Klára:
... "Metropolitní nádraží Charing Cross," mávla rukou směrem ke vchodu, jako by neteři představovala přítelkyni. "Právě dokončili přípojky na Bayswater a do Birminghamu, takže vlaky teď jezdí nepřetržitě dokola. Způsob, jakým ty vlaky jezdí, je hrozně zvláštní. Západním vlakům trvá celý okruh dvě hodiny, kdežto východním tři. Tady odtud ale startují vždy dva současně, každým směrem jeden, přesně po čtvrt hodině. ...
"Co kdybychom se rozjely každá jedním směrem a chválně, která potká víc vlaků. Můžeš si vybrat, kterým směrem chceš jet, a uvidíme, kdo z koho!" "Dobře, dáme si soutěž, když chceš. Ovšem já si vyberu vlak," dodala po chvilce počítání v duchu," a vsadím se, že potkám přesně jedenapůlkrát tolik vlaků co ty." "Těžko, ani si neškrtneš. Nezapomeň, že se počítají jenom ty vlaky, které potkáš na cestě. Nepočítá se ten, který startuje současně s tvým, ani ten, který sem dorazí současně s tvým." "Tím se to změní maximálně o jeden vlak," řekla Klára a vyrazily.
Tvým úkolem je tento spor, sázku rozřešit. Kolik každá dívka potkala vlaků, jestliže se vydaly opačným směrem?

Stručnější zadání téže úlohy:
Dvě cestující vyrazily ve stejný okamžik opačnými směry po okružní železnici. Vlaky vyjíždějí oběma směry každých patnáct minut. Východním směrem trvá celý okruh tři hodiny, západním dvě hodiny. Kolik protijedoucích vlaků každá cestující potkala, nepočítáme-li vlak, který vyjel z nádraží společně s jejím a vlak, který přijel od cíle společně s jejím vlakem?
  2.  Bílá káva
Mám šálek černé kávy. Nejdřív vypiji šestinu kávy a doliji šálek mlékem, aby byl plný. Pak vypiji třetinu nápoje a opět doliji mlékem, aby šálek byl plný. Do třetice vypiji polovinu nápoje a po třetí doplním šálek mlékem. A konečně vypiji šálek až do dna.
> Přede mnou stojí prázdný šálek a já přemýšlím, čeho jsem vlastně vypil víc: kávy či mléka? A kolik jsem vypil celkem kávy a mléka?

Řešení
Obě cestující potkaly 19 vlaků.
Jedním směrem trvá cesta 120 minut, druhým 120. Vezměte si úhlovou míru 360° a rozdělme železniční okruh na 360 stejných dílků. Jedním směrem se vlaky pohybují rychlostí dvou dílků za minutu s intervalem 30 dílků, opačným směrem rychlostí tří dílků za minutu s intervalem 45 dílků. Mezi vlakem, který vyjíždí východním směrem, a prvním vlakem, který potká, je v okamžiku startu vzdálenost 45 dílků. Z této vzdálenosti urazí východní vlak dvě pětiny zatímco západní vlak tři pětiny. Vlaky se tedy potkají v okamžiku, kdy východní vlak urazil 18 dílků. A tak dále. Mezi západním vlakem a prvním vlakem, který potká, je v okamžiku startu 30 dílků. Z těchto urazí západní vlak tři pětiny, zatímco východní dvě pětiny. Vlaky se tedy setkají v okamžiku, kdy západní vlak urazí 18 dílků, a tak dále. Takže kdybychom rozdělili okruh devatenácti stanicemi na dvacet stejných částí, z nichž každá měří 18 dílků, pak by se vlaky potkávaly v každé stanici. Tudíž obě cestující projedou 19 stanic a potkají 19 vlaků.
Vypil jsem šálek kávy (černé) a 1/6 + 1/3 + 1/2 = 1 šálek mléka.


Ü‚„‚