1. SÉRIE - únor (řešení)

Prima/Sekunda   Tercie/Kvarta   1.ročník/2.ročník/Kvinta/Sexta   3.ročník/4.ročník/Septima/Oktáva

Prima/Sekunda

1.

Nahoru dolů Chlapec pevně přitiskl modrou tužku po délce k žluté tužce. Modrá tužka je na dolním konci v délce jednoho centimetru umazána barvou. Chlapec drží žlutou tužku nehybně, ale modrou, stále přitištěnou k té žluté, posune o jeden centimetr dolů, potom ji zase vrátí do předešlé polohy, znovu ji spustí o jeden centimetr a opět vrátí zpět; desetkrát tak spustí a zase desetkrát zvedne modrou tužku (udělá dvacet pohybů). > Kolik centimetrů žluté tužky bude zamazáno od barvy po dvacátém pohybu, pokud předpokládáme, že za tu dobu barva nevyschne, ani se nevypotřebuje?

2.

Voda pro dobytek > Jak odměříme přesně 7 litrů vody, máme-li po ruce dvě nádoby: devítilitrovou a čtyřlitrovou?

Řešení

Na začátku je žlutá tužka zamazána v délce 1 cm. Když se modrá tužka pohybuje dolů, umaže se druhý centimetr její délky, a když pak jde vzhůru, zamaže druhý centimetr modré tužky také druhý centimetr tužky žluté. Tak každá dvojice pohybů dolů a nahoru umaže 1 cm žluté tužky. Deset pohybů dolů a nahoru umaže tužku v délce 10 cm, takže spolu s 1 cm, který byl obarven na začátku, bude zamazáno 11 cm žluté (a také modré) tužky. Vodu nabíráme čtyřlitrovou nádobou. Nabereme dvakrát po 4 litrech a přelejeme do devítilitrové nádoby. Potřetí dolejeme do devítilitrové nádoby jen jeden litr a všech 9 litrů vody vylejeme. Tři litry, které zbyly ve čtyřlitrové nalejeme do devítilitrové, nabereme znovu plnou čtyřlitrovou a dolejeme do devítilitrové.

Tercie/Kvarta

1.

Hodiny se zastavily Nemám kapesní hodinky, jen nástěnné, a ty se mi zastavily. Zašel jsem k známému, jehož hodiny jdou opravdu přesně, podíval jsem se, kolik je hodin, a bez meškání jsem se vrátil domů. Doma jsem rychle provedl jednoduchý výpočet a nařídil jsem ručičky nástěnných hodin tak, aby ukazovaly přesný čas. > Jak jsem to udělal a jak jsem usuzoval, jestliže jsem předem nevěděl, jak dlouho trvá cesta?

2.

Kolik váží láhev? Na levé misce vah je láhev se sklenicí, na pravé misce džbán. Váhy jsou v rovnováze. Dáme sklenici z levé misky na pravou a místo džbánu dáme talíř. Váhy jsou opět v rovnováze. Vezmeme láhev z levé misky a místo ní tam postavíme dva stejné džbány; na pravou misku dáme místo sklenice dva stejné talíře. Ukáže se, že dva džbány váží stejně jako tři talíře. > Kolikrát je láhev těžší než sklenice?

Řešení

Celý vtip je v tom, že mě při odchodu z domova napadlo, abych natáhl své nástěnné hodiny a všiml si, v kolik hodin jsem odešel a potom kdy jsem se vrátil. Tak jsem podle vlastních hodin věděl, jak dlouho jsem byl z domova. Při příchodu k známému i při odchodu jsem se podíval, kolik jeho hodiny ukazují. Tak jsem si zjistil, jak dlouho jsem u něho byl. Pak jsem od doby, po kterou jsem nebyl doma, odečetl chvilku strávenou u známého, a zjistil jsem tak, jak dlouho mi trvala cesta tam a zpět. Polovinu této doby jsem přičetl k času, který ukazovaly hodiny mého známého ve chvíli, kdy jsem od něho odcházel, a vyšel mi čas, na který musím nařídit své hodiny. Představme si situaci, kdy je na levé misce váhy láhev se sklenicí a na pravé misce dbžbán; váží stejně. V další situaci je na levé misce láhev, na pravé talířek se sklenicí. Přidáme - li nyní na obě misky po sklenici, rovnováha se neporuší. Láhev se sklenicí váží tedy stejně jako talířek a dvě sklenice. Srovnáme - li nyní levé misky vah, zjistíme, že džbán váží právě tolik jako talířek se dvěma sklenicemi. Protože však zároveň dva džbány váží stejně jako tři talířky, váží tři talířky právě tolik jako dva talířky a čtyři sklenice. Odstraníme - li nyní z každé misky vah (na levé jsou 2 talířky a 4 sklenice, na pravém 3 talířky) dva talířky, ukáže se, že váha jednoho talířku se rovná váze čtyř sklenic. Nyní se vrátíme k situaci, kdy je na levé misce láhev a na pravé talířek se sklenicí. Místo talířku položíme čtyři sklenice; pět sklenic je tedy v rovnováze s lahví, a to nám dává hledanou odpověď: láhev je pětkrát těžší než sklenice. Zároveň jsme zjistili, že džbán je šestkrát těžší než sklenice.

1.ročník/2.ročník/Kvinta/Sexta

1.

Která princezna je pravdomluvná? Král měl tři dcery: Anežku, Bertu a Cecilii. Anežka vždycky mluvila pravdu, Berta vždycky lhala a Cecilie někdy mluvila pravdu a někdy lhala. Ke dvoru přijel cizí princ, aby se ucházel o pravodomluvnou Anežku. Král jej zavedl do trůnní síně, kde všechny tři dcery seděly vedle sebe, a že princi Anežku dá, pokud pozná, která z nich to je. Přitom smí každé z nich položit jedinou otázku. Princ chvíli přemýšlel a pak položil všem tutéž otázku: "Jak se jmenuje princezna, která sedí uprostřed?" Princezna sedící vlevo odpověděla: "Anežka", princezna sedící uprostřed "Berta" a princezna sedící vpravo řekla "Cecilie". Princ se jen maličko zamyslel a řekl: "Ty jsi Anežka". A měl pravdu. > Poznali byste podle odpovědí, která z princezen je pravdomluvná Anežka?

2.

Rozbité okno Některý z žáků A, B, C rozbil okno. Je zjištěno, že v té době nebyl u okna žák A nebo u něho nebyl žák B. Když B nebyl u okna, nebyl tam ani A. Žák C byl u okna právě tehdy, když u něho nebyl žák A. > Kdo rozbil okno?

Řešení

Princezna sedící vlevo není Anežka, neboť by lhala. Kdyby pravdomluvná Anežka seděla uprostřed, musela by odpovědět "Anežka", znamená to, že Anežka je princezna sedící vpravo. A můžeme určit více. Princezna sedící uprostřed nemůže být Berta, protože Anežka řekla, že se jmenuje Cecilie. Princezny tedy seděly v tomto pořadí: Berta, Cecilie, Anežka. C (řešení lze provést buď striktní úvahou nebo za pomocí výrokové logiky).

3.ročník/4.ročník/Septima/Oktáva

1.

Ovocnářství Ve výloze byly jablka a hrušky vyrovnány do tvaru trojúhelníka. V první řadě bylo jedno jalbko, v druhé dvě hrušky, ve třetí tři jablka atd. > Bylo-li n řad, kolik bylo jablek a kolik hrušek? Odvoďte vzoreček.

2.

Nedokončená výprava Dva členové turistického oddílu, A a B, se vydali na výpravu toutéž cestou do jisté obce, vzdálené 672 km. B se na túru vydal na kole a ujel denně 40 km, zatímco A jel na mopédu a ujel denně 56 km. Jednoho dne poslal oddíl oběma členům telegram s výzvou, aby se okamžitě vrátili. Oba tento rozkaz splnili. Ukázalo se, že od zamýšleného cíle byl B vzdálen třikrát tolik, co A. > Kolik dní byli oba turisté na cestě a kolik kilometrů chybělo každému z nich k cíli, do něhož měli dojet?

Řešení

1) Liché: počet jablek = (n + 1)2/4; počet hrušek = (n2 - 1)/4 2) Sudé: počet jablek = n2/4; počet hrušek = (n2 + 2n)/4 A se odhodlal ujet 672 km během 672 : 56 = 12 dní. B by za tutéž dobu ujel 40 . 12 = 480 km, čili o 192 km méně. Kdyby si A nevšímal telegramu a pokračoval v cestě nezměněnou rychlostí, zatímco B by také pokračoval v cestě, ale zvětšil by svoji rychlost tak, aby dojel do cíle současně s A, musel by ve zbývajícím čase ujet navíc 192 km. Protože turistovi B chybělo do cíle třikrát tolik, co turistovi A, musel by B denně ujet 56 . 3 = 168 km. Odečteme-li od této vzdálenosti 40 km, pak rozdíl 128 km denně navíc proti původnímu plánu by turistovi B umožnilo dohonit chybějících 192 km. Při zvětšené rychlosti by tedy B potřeboval na zbytek cesty 192 : 128 = 11/2 dne. Protože jsme předpokládali, že při této rychlosti by A i B přijeli do cíle současně, plyne odtud, že v okamžiku, kdy došel telegram, byli oba na cestě 12 - 11/2 = 101/2 dne. Za 101/2 dne ujel A 56 . 101/2 = 588 km a chybělo mu tedy do cíle 672 - 588 = 84 km. B za tuto dobu projel 40 . 101/2 = 420 km a chybělo mu 252 km, což je skutečně třikrát tolik, kolik chybělo turistovi A.

Ü‚„‚