Matematické rekreace a odpočinkové úložky

1. SÉRIE - řešení zasílejte do 31. listopadu

Prima/Sekunda   Tercie/Kvarta/1.ročník   Kvinta/Sexta/2.ročník   Septima/4.ročník   Motivační řeč


Prima/Sekunda

  1.  Cesta široká 3 m rozdělila obdélníkový sad, jehož jedna strana má délku 1207 m, na dva čtvercové sady. Určete délku pletiva potřebného k oplocení původního sadu. Kolik bylo nutno přikoupit pletiva, jestliže měly být oploceny i oba čtvercové sady?
  2.  Ve výloze byly jablka a hrušky vyrovnány do tvaru trojúhelníka. V první řadě bylo jedno jalbko, v druhé dvě hrušky, ve třetí tři jablka atd. Bylo-li n řad, kolik bylo jablek a kolik hrušek? Odvoďte vzoreček.


Řešení
Třída:
Prima
Sekunda


A B
C D

           Úloha:
            1.
            2.


         Řešení:
         

    



Tercie/Kvarta/1.ročník

  1.  Pro přirozená čísla a, b, c, d vyhovuje rovnost  a*b = c*d . Máte za úkol dokázat, že číslo x, kde  x = a1984 + b1984 + c1984 + d1984, je složené.
  2.  Platí:
(L+O+R+I)4 = LORI , kde L, O, R, I jsou čísla celá nezáporná a každé písmenko představuje jiné číslo. Najděte čísla L, O, R, I.


Řešení
Třída:
Tercie
Kvarta
1. ročník


A B
C D

           Úloha:
            1.
            2.


         Řešení:
         

    



Kvinta/Sexta/2.ročník

  1.  Která číslice je na 100 000. místě, jestliže zapisujeme za sebou všechna přirozená čísla začínající číslem 1 (123456789101112131415...)?
  2.  Máte změřit výšku továrního komínu, ke kterému ovšem nemáte přístup (mezi vámi a komínem teče řeka). Je zamračeno (nejsou žádné stíny) a k dispozici máte jen pásmo na měření, 3 m dlouhou tyč, papír a potřeby na psaní a rysování, kalkulačku. (Narysování přímky, která prochází třemi body v terénu, z nichž jeden je vaše oko, vám jistě nebude činit problémy.)


Řešení
Třída:
Kvinta
Sexta
2. ročník


A B
C D

           Úloha:
            1.
            2.


         Řešení:
         

    



Septima/4.ročník

  1.  Lewis Carroll: Zamotaný příběh - Pomatená Matylda
(alias Charles Lutwidge Dodgson, autor Alenky v říši divů)

Matylda a její neteř Klára:
... "Metropolitní nádraží Charing Cross," mávla rukou směrem ke vchodu, jako by neteři představovala přítelkyni. "Právě dokončili přípojky na Bayswater a do Birminghamu, takže vlaky teď jezdí nepřetržitě dokola. Způsob, jakým ty vlaky jezdí, je hrozně zvláštní. Západním vlakům trvá celý okruh dvě hodiny, kdežto východním tři. Tady odtud ale startují vždy dva současně, každým směrem jeden, přesně po čtvrt hodině. ...
"Co kdybychom se rozjely každá jedním směrem a chválně, která potká víc vlaků. Můžeš si vybrat, kterým směrem chceš jet, a uvidíme, kdo z koho!" "Dobře, dáme si soutěž, když chceš. Ovšem já si vyberu vlak," dodala po chvilce počítání v duchu," a vsadím se, že potkám přesně jedenapůlkrát tolik vlaků co ty." "Těžko, ani si neškrtneš. Nezapomeň, že se počítají jenom ty vlaky, které potkáš na cestě. Nepočítá se ten, který startuje současně s tvým, ani ten, který sem dorazí současně s tvým." "Tím se to změní maximálně o jeden vlak," řekla Klára a vyrazily.
Tvým úkolem je tento spor, sázku rozřešit. Kolik každá dívka potkala vlaků, jestliže se vydaly opačným směrem?

Stručnější zadání téže úlohy:
Dvě cestující vyrazily ve stejný okamžik opačnými směry po okružní železnici. Vlaky vyjíždějí oběma směry každých patnáct minut. Východním směrem trvá celý okruh tři hodiny, západním dvě hodiny. Kolik protijedoucích vlaků každá cestující potkala, nepočítáme-li vlak, který vyjel z nádraží společně s jejím a vlak, který přijel od cíle společně s jejím vlakem?
  2.  Rozhodněte, zda platí implikace:
Narodil-li se J. A. Komenský v roce 1592, pak součin  log (tg 1°) * log (tg 2°) * ... * log (tg 89°)  je iracionální číslo. (nápověda: J. A. Komenský se skutečně narodil roku 1592)


Řešení
Třída:
Septima
4.ročník


A B
C D

           Úloha:
            1.
            2.


         Řešení:
         

    




Motivace:
Vylosovaní řešitelé dostanou autogram od obou autorů této soutěže. Proto neváhejte a dejte se do luštění. Nezlobte se, ale výherce jsme z přišlých odpovědí opravdu nuceni losovat. Kdybychom měli dát autogram každému řešiteli, upsali bychom se...
(pokud přijde do půl roku aspoň jedna správná odpověď, uděláme ohňostroj - pozn. FK).




Spáchali:
TheTurtle
úlohy, nápad, poskytnutí mailboxu na odpovědi (D)

k

Frederik de la Krueger
design a HTML, motivační řeč, gramatická korekce, shánění skriptu na poštu + bezesné noci (B)


(c) 1998





Ü‚„‚