charakteristickou posloupností pro dělitel 7. Vycházejíce z vlastností kongruence, můžeme nyní odvodit znak dělitelnosti 7.
Vyšetřeme například, zda číslo 426 738 je dělitelné 7. Pro zřetelnosti si napíšeme číslice zkoumaného čísla zprava doleva do sloupce a vynásobíme je odpovídajícími čísly charakteristické posloupnosti; do druhého sloupce napíšeme zbytky, které dostaneme po odečtení vhodných násobků 7 od těchto součinů:
| 8 . 1 = 8, | 8 - (1 . 7) = 1,
| 3 . 3 = 9, | 9 - (1 . 7) = 2,
| 7 . 2 = 14, | 14 - (2 . 7) = 0,
| 6 . 6 = 36, | 36 - (5 . 7) = 1,
| 2 . 4 = 8, | 8 - (1 . 7) = 1,
| 4 . 5 = 20, | 20 - (2 . 7) = 6. | | | | | |
Vypočteme součet součinů jednotlivých číslic zkoumaného čísla s čísly chrakteristické posloupnosti:
8 . 1 + 3 . 3 + 7 . 2 + 6 . 6 + 2 . 4 + 4 . 5 = 95
a také součet zbytků:
1 + 2 + 0 + 1 + 1 + 6 = 11.
Ani číslo 95, ani 11 není dělitelné 7 (tato dvě čísla budou vždy buď obě dělitelná daným číslem nebo nebude dělitelné daným číslem ani jedno z nich, proto samozřejmě stačí zjistit pouze jedno z nich).
Současně jsme zjistili, jaký dostaneme zbytek po dělení čísla 426 738 číslem 7. Tento zbytek je 95 bez největšího možného násobku 7 čili
95 - 7 . 13 = 4, (11 - 7 = 4)
Znaky dělitelnosti čísla 11 a 13 jsou obdobné. Je třeba vypočítat příslušné charakteristické posloupnosti: pro číslo 11 má tato posloupnost tvar -1, 1, -1, 1, -1, ... a pro číslo 13 tvar 1, -3, -4, -1, 3, 4, 1, -3, ... . Pak vypočteme součty jednotlivých součinů a zkoumáme jejich dělitelnost.
Pro dělitelnost číslem 11 vyplývá z charakteristické posloupnosti zajímavá pomůcka: jestliže rozdíl mezi součtem číslic stojících na lichých místech (od konce čísla) a součtem číslic stojících na sudých místech je dělitelný 11, pak dané číslo je dělitelné 11.
Pro dělitelnost velkých čísel číslem 7 (nebo 11 nebo 13) můžeme využít zajímavého čísla 1 001, které je nejmenší čtyřciferné číslo dělitelné 7, 11 i 13 (přesněji: 7 . 11 . 13 = 1 001). Ukažme si tento způsob na příkladech:
Příklad 1:
Je číslo 348 285 dělitelné 7?
Platí:
348 285 = 348 . 1 000 + 285 =
= 348 . 1 000 + 348 - 348 + 285 =
= 348 . 1 001 - (348 - 285).
Aby rozdíl na pravé straně byl dělitelný 7, je třeba, aby 348 - 285 bylo dělitelné 7. Protože 348 - 285 = 63 je dělitelné 7, je také dané číslo 348 285 dělitelné 7.
Příklad 2:
Je číslo 946 988 875 dělitelné 7?
Platí:
946 988 875 = 946 988 . 1 000 + 946 988 - 946 988 + 875 =
= 946 988 . 1 001 - (946 988 - 875).
Toto číslo je dělitelné 7, jestliže 946 988 - 875 je dělitelné 7. Podobně:
946 988 - 875 = 946 . 1 000 + 946 - 946 + 988 - 875 =
= 946 . 1 001 - (946 - 113).
Toto číslo je dělitelné 7, jestliže 946 - 113 = 833 je dělitelné 7. Protože 833 : 7 je dělitelné beze zbytku, je také číslo 946 988 875 dělitelné 7.
Z předchozích dvou příkladů plyne, že dělitelnost daného čísla sedmi (nebo 11 nebo 13) zjistíme, jestliže od daného čísla bez posledních tří číslic odečteme číslo utvořené jeho posledními třemi číslicemi. Jestliže tento rozdíl je dělitelný 7 (11, 13), pak také dané číslo je dělitelné 7 (11, 13).
Dělitelnost - univerzální znak dělitelnosti čísel
Tento znak se pokusíme vysvětlit na základě příkladu a obrázku.
Mějme za úkol rozhodnout, zda je číslo 4 389 dělitelné 7. Protože máme zjistit dělitelnost dělitelem d = 7, vypočteme nejdříve konstantu k = 10 - d = 10 - 7 = 3. Konstantou 3 vynásobíme číslici nejvyššího řádu d3 = 4, k součinu připočteme číslici nižšího řádu a2 = 3, součet dělíme dělitelem 7 a zaznamenáme (zapamatujeme si) zbytek dělení 1. Zbytek 1 vynásobíme konstantou 3, k součinu přičteme číslici dalšího nižšího řádu a1 = 8, součet dělíme dělitelem 7 a zaznamenáme zbytek dělení 4. Zbytek 4 vynásobíme konstantou 3, k součinu přičteme číslici nejnižšího řádu a0 = 9, součet dělíme dělitelem 7, a protože dělení vyšlo beze zbytku, znamená to, že je číslo 4 389 sedmi dělitelné, což zapisujeme 7 I 4 389.
Stejně postupujeme, máme-li zjistit dělitelnost vícemístného čísla nebo dělitelnost jinými čísly s tím, že se pochopitelně mění vypočtené hodnoty konstanty k. O dalších podrobnostech se však zmiňovat nebudeme a uveďme na vysvětlenou jen stručný záznam dělitelnosti třinácti.
Máme-li rozhodnout, je-li číslo 15 184 dělitelné třinácti, vypočteme konstantu k = 10 - 13 = -3 a pak počítáme:
|
-3 . 1 + 5 = 2 | 2 : 13 = 0 (2)
| -3 . 2 + 1 = -5 | -5 : 13 = 0 (-5)
| -3 . (-5) + 8 = 23 | 23 : 13 = 1 (10)
| -3 . 10 + 4 = -26 | -26 : 13 = -2 (0) | | | |
Protože dělení vyšlo beze zbytku, je číslo 15 184 číslem 13 dělitelné. Snad se vám to zdá složité, ale získáte-li cvik, můžete zjišťovat dělitelnost čísel tímto postupem i zpaměti.
Diofantovská rovnice
Tyto rovnice mají celočíselné koeficienty a všechny neznámé (n pro n-tý stupeň diofantovných rovnic) jsou z oboru celých čísel.
Př.: Diofantovská rovnice 31x - 164y = 7 má nekonečně mnoho řešení v oboru celých čísel; řešením jsou všechny uspořádané dvojice (x, y) = (-259 + 164 t; -49 + 31 t), kde t je libovolné celé číslo.
Pozn.: Název těchto rovnic pochází od vynikajícího starověkého matematika Diofanta. O tomto vědci se dochovalo jen velmi málo zpráv a vše, co o něm víme, pochází z nápisu na jeho náhrobku. Nápis má tvar matematické úlohy. Zde je znění v češtině:
Poutníče! Zde odpočívá popel Diofantův. A čísla poví, je to zázrak, jak dlouhý byl jeho život. Šestina života patřila krásnému dětství. Ještě dvanáctina života uběhla, než se jeho brada pokryla chmýřím. Sedminu života strávil v bezdětném manželství. Uplynulo dalších pět let a radoval se z narození krásného syna, toho, kterému Osud vyměřil veselý a zářící život na této Zemi, ale dlouhý jen polovinu toho, co otci. A v hlubokém smutku ukončil starý muž svou pouť zde na Zemi, čtyři roky po ztrátě syna.
A kolik z vás by přišlo na to, že slavný Diofantos žil plných 84 let. Navíc jsme schopni určit, že se Diofantos oženil v 21 letech, stal se otcem v 38 letech, syn mu zemřel, když mu bylo 80 let (a synovi 42).
Náročnější příklad: Kupujete si v bývalých zemích sovětského svazu (pro lepší představivost v Rusku) nový svetr, který stojí 19 rublů (ano, jsme z levného kraje), ale máte u sebe pouze třírublové bankovky a pokladník má pouze pětirublové bankovky. Je za těchto podmínek možné nákup uskutečnit? A jestliže ano, jak?
Řešení: V úloze jsou dvě neznáme: x - počet třírublových bankovek a y - počet pětirublových bankovek. Rovnici však máme jen jednu:
3x - 5y = 19 (1)
Ačkoliv má jedna rovnice o dvou neznámých nekonečně mnoho řešení, není předem jasné, zda mezi nimi existuje alespoň jedno řešení celočíselné, tj. řešení, ve kterém jsou x i y celá nezáporná čísla (uvědomte si, že x a y jsou počty bankovek). K řešení takových rovnic je třeba použít zvláštní metody, kterou zavedl do algebry právě Diofantos.
Osamostatníme ten člen, kde je u neznámé koeficient s nejmenší absolutní hodnotou, tj. člen 3x; dostaneme:
3x = 19 + 5y, (2)
odkud
(3)
Protože x, 6 a y jsou celá čísla, rovnost může nastat pouze tehdy, jestliže (1 + 2y)/3 je také celé číslo. Označme je písmenem t. Pak
x = 6 + y + t, (4)
kde
(5)
Z toho plyne, že
3t = 1 + 2y, 2y = 3t - 1. (6)
Z poslední rovnice vyjádříme y:
(7)
Protože y a t jsou celá čísla, musí i (t - 1)/2 být nějaké celé číslo, označme je q. Proto:
y = t + q, (8)
odtud
2q = t - 1, t = 2q + 1. (9)
Dosaďme hodnotu t = 2q + 1 do rovnic (8) a (4):
y = t + q = 1 + 3q, (10)
x = 6 + y + t = 8 + 5q. (11)
Tím jsme pro proměnné x a y našli výše uvedené výrazy. navíc víme, že čísla x a y nejsou jenom celá, ale také nezáporná, tj. větší nebo rovna nule. Proto musí platit:
8 + 5q ≥ 0, (12)
1 + 3q ≥ 0. (13)
Odtud
q ≥ - 8/5,
q ≥ - 1/3.
To jsou omezení pro hodnotu q: Je větší nebo rovna - 1/3 (a tím spíše větší než - 8/5). Protože q je celé číslo, může to být pouze jedna z hodnot
q = 0, 1, 2, 3, 4, …
Odpovídající hodnoty x a y z (11) a (10) pak jsou:
x = 8, 13, 18, 23, …
y = 1, 4, 7, 10, …
Nyní jsme nalezli způsob, jak koupi uskutečnit: Buď platíme 8 třírublovými bankovkami a zpět dostaneme 1 pětirublovou bankovku (8 . 3 - 5 = 19), nebo platíme 13 třírublovými bankovkami a zpět dostaneme 4 pětirublové bankovky (13 . 3 - 4 . 5 = 19) atd.
Teoreticky má úloha nekonečně mnoho řešení, ale prakticky je počet řešení omezen, protože ani kupující, ani pokladník nemá u sebe nekonečný počet bankovek. Například má-li každý 10 bankovek, je možno zaplatit jen jedním způsobem: Kupující dá 8 třírublových bankovek a zpět dostane 1 pětirublovou bankovku. Vidíme, že i "neurčité" rovnice mohou dávat v praxi jednoznačné řešení.
Dirichletův princip
Tento učený název charakterizuje celkem jednoduché, ale užitečné tvrzení, které lze zformulovat například takto: Máme-li n + 1 předmětů rozdělit do n-přihrádek, pak alespoň v jedné přihrádce musí být nejméně dva předměty.
Příklad:
13 lidí dalo své čisté ponožky do pěti šuplíků. Jaký největší počet ponožek bychom mohli s jistotou najít v jednom šuplíků?
V této chvíli máme 5 šuplíků a 26 ponožek a jak logicky, podle selského rozumu, tak i dle Dirichletova principu víme, že když bychom dali do každého šuplíku 5 ponožek, pak by nám zbyla ještě jedna ponožka, proto můžeme s jistotou tvrdit, že minimálně v jednom šuplíků bude ponožek 6.
Náročnější příklad:
Zjistěte, zda se u geometrické posloupnosti 37, 372, 373, … objeví člen končíčí pěticí číslic v pořadí …00001.
Tvrzení: Existuje 105 různých pěticiferných zakončení.
Mějme posloupnost 37, 372, 373, …, 37100 000 + 1
Předpoklad: U této pst. neexistuje žádné číslo končící 00001
Potom počet možných zbytků při dělení 105 je 105 - 1 (00001 nelze)
Podle Dichletova principu - dvě z těchto čísel dávají stejný zbytek při dělení 100 000, označme je 37a a 37b.
Pak platí: 100 000 | (37a - 37b). Dále úpravami: 37a - 37b = 37b . (37a-b - 1). Činitel 37b není dělitelný 100 000 (dle předchozího tvzení, že 37a i 37b dávají stejný zbytek po dělení 100 000) a z toho vyplývá, že (37a-b - 1) je dělitelné číslem 100 000, neboli číslo (37a-b - 1) musí končit pětičíslím …00000.
Dostáváme tvrzení, že jesliže číslo (37a-b - 1) končí pětičíslím …00000, pak číslo 37a-b musí končit pětičíslím …00001, které je ve sporu s původním tvrzením, proto jsme dokázali, že v dané posloupnosti existuje číslo končící pěticí číslic …00001.
Dokonalá čísla
Tento pojem je opravdu matematický, jako jsou např. čísla sudá či lichá. Dokonalým číslem se nazývá takové přirozené číslo, které se rovná součtu všech svých vlastních dělitelů. Nejmenším dokonalým číslem je číslo 6, protože součet všech jeho dělitelů menších než šest je 1 + 2 + 3 = 6. Jiným dokonalým číslem je číslo 28 a další.
V současné době je známo 26 dokonalých čísel a souvisí to s 26 známými Mersenovými čísly. Je dokázané, že platí tato věta: Sudé číslo je dokonalým číslem Dn tehdy a jen tehdy, má-li tvar
Dn = 2n - 1 . Mn = 2n - 1 . (2n - 1),
kde n je přirozené číslo a Mn Mersenovo prvočíslo.
Tak například pro n = 2 dostaneme Dn = 6, pro n = 3 dostaneme Dn = 28 atd.
Dočetl jsem se, že už je objeveno dokonalých čísel (a tím i Mersenových) třicet. Toto poslední číslo má 130 099 číslic a vypočetli je v Houstonu na superpočítači CRAY (v tomto středisku našli i dosud největší prvočíslo).
e - základ přirozených logaritmů
Je nadefinován pomocí Taylor - McLaurinovy řady:
Číslo e je číslo iracionální, a to dokonce transcedentní.
Emirp
Prvočíslo, které zůstane prvočíslem, i když je napíšeme pozpátku. Název emirp vznikl z anglického výrazu pro prvočíslo prime napsáním pozpátku. Viz palindromické číslo.
Př.: 13 a 31, 17 a 71
Eratosthenovo síto
Eratosthenes byl řecký astronom a matematik a mimo jiné se zabýval vyhledáváním prvočísel. Eratosthenovo síto je postup, jak vyhledávat všechna prvočísla menší než určité přirozené číslo n postupným přeškrtáváním či podtrhováním vyšších násobků již nalezených prvočísel, avšak stačí přeškrtávát čísla jen tak dlouho, až pro nejmenší nepodtržené prvočíslo p platí p > √n, a pak jsou hledanými prvočísly všechna nepřeškrtnutá čísla (např. podtržená).
Faktoriál čísla n (též n-faktoriál)
Číslo 1 . 2 . 3 . … . (n - 1) . n definované pro každé celé kladné číslo n. Označuje se n! Např. 1! = 1, 4! = 24. Je užitečné definovat 0! = 1. Faktoriál daného čísla se často vyskytuje v kombinatorice.
Geometrický průměr
Geometrický průměr dvou kladných čísel m a n je
a obecně pro n kladných čísel x1, x2 ..., xn pak platí:
Příklad: V družstevním obchodě
Hospodář přišel do družstevního obchodu a požádal o 2,25 kg cukru. Prodavačka zvážila zboží na pravé misce a na levou pokládala závaží. Ale když si hospodář vzal cukr, zapochyboval o správnosti váhy a opžádal o převážení, přičemž položil zboží na levou misku a závaží na pravou. Ukázalo se, že cukru je jen 1,44 kg. V obchodě vypukl zmatek a hádka.
Objevil se tam ale i středoškolák, který si vytáhl hned notes a začal rychle počítat. Za chvilku se otočil k hospodáři a přerušil hádku: "Hospodáři, zaplaťte za 1,8 kg cukru. Tolik máte v sáčku." Měl student opravdu pravdu?
Řešení:
Předpokládejme, že cukr váží x kg a že ramena vah jsou a a b cm dlouhá. Podle podmínek rovnovány máme při prvním rovnost xa = 2,25b a při druhém xb = 1,44a. Protože ani jedna strana obou rovnic nenabývá nuly, můžeme obě rovnice vynásobit a dostáváme rovnice x2ab = 2,25 . 1,44ab, odkud dále
Cukr opravdu vážil 1,8 kg. Skutečná hmotnost předmětu, váženého na váze s nejstejně dlouhými rameny, je tedy rovna geometrickému průměru obou vážení m a n, tj.
Harmonický průměr
Harmonický průměr nenulových čísel x1 a x2 je číslo
a obecně pro n nenulových čísel x1, x2, ..., xn pak
Příklad: Přesnost především
Internát jisté střední školy je bohužel tak daleko od této školy, že studenti musejí být do školy přiváženi autobusem na osmou hodinu ranní. Jestliže autobus se žáky pojede rychlostí 30 km/h, přijede do školy příliš brzo - o 30 minut dříve. Jesliže pojede rychlostí 20 km/h, přijede naopak příliš pozdě - také o 30 minut.
Jak je vzdálen internát od školy a jak rychle má jet autobus, aby přijel ke škole přesně v 8 hodin ráno? (předpokládáme, že okamžik odjezdu autobusu od internátu je pevně stanoven)
Řešení:
- Rozdíl mezi pozdním a předčasným příjezdem je 30 min + 30 min = 60 min.
- Při rychlosti 30 km/h jsou na ujetí 1 km třeba 2 min, zatímco při rychlosti 20 km/h jsou potřeba 3 min; na jednom kilometru se tedy ztratí jedna minuta.
- Protože rozdíl mezi pozdním a předčasným příjezdem činí 60 min, je vzdálenost internátu od školy 60 km.
- Na projetí celé trasy musí autobus spotřebovat (60/30 + 1/2) h = (60/20 - 1/2) h = 21/2 h, a musí přijet rychlostí 60 km: 21/2 h = 24 km/h.
Všimněte si, že rychlost 24 km/h není aritmetickým průměrem rychlostí 30 km/h a 20 km/h, ale jejich harmonickým průměrem. Takže pro náš případ dostáváme po dosazení opět hodnotu výrazu 24 km/h.
Kongruence
Čísla a a b jsou kongruentní podle modulu m, jestliže rozdíl (a - b) je dělitelný číslem m; nebo jinak, jestliže a děleno m i b děleno m dá stejný zbytek.
A ještě jinak řečeno: množinu všech celých čísel dávajících při dělení přirozeným číslem (modulem) m stejný zbytek nazýváme zbytkovou třídou podle modulu m (modulo m). O dvou číslech a, b náležejících téže zbytkové třídě podle modulu m říkáme, že jsou kongruentní podle modulu m, a píšeme a ≡ b (mod m).
Ke každému modulu m existuje m zbytkových tříd pro zbytky 0, 1, 2, …, m - 1. Dále platí, že součet dvou nebo více celých čísel je kongruentní se součtem jejich zbytků podle téhož modulu. Součin dvou nebo více celých čísel je kongruentní se součinem jejich zbytků podle téhož modulu.
Například 26 a 12 jsou kongruentní podle modulu 7, neboť 26 - 12 = 14 je dělitelné 7, čili celočíselné dělení 26 : 7 a 12 : 7 dává stejný zbytek (a to 5).
Dále 26 + 12 je kongruentní s 2 + 4 podle modulu 8, nebo 26 . 12 je kongruentní s 2 . 4 podle modulu 8.
Kruhová inverze
Geometrické zobrazení, které je involutorní a má kružnici samodružných bodů. Střed této kružnice se nazývá střed inverze, druhá mocnina r2 jejího poloměru r je mocnost inverze.
Přiřazování obrazu X´ danému bodu X probíhá tak, že na přímce SX sestrojíme X´, pro který platí I SX I . I SX´I = r2 (sestrojíme pomocí pravoúhlého trojúhelníku a Euklidovy věty pro odvěsnu). Bod S má přiřazen nevlastní bod, body na kružnici jsou samodružné.
Vlastnosti kruhové inverze:
1) Dvojím provedením téže kruhové inverze dostaneme identitu (involutorní).
2) Kružnice se středem v S se zobrazí na kružnici se středem v S. Speciálně - kružice se středem v S a poloměrem r se samodružná (tj. zobrazí se sama na sebe)
3) Vnitřek samodružné kružnice se zobrazí na její vnějšek a naopak. To znamená, že rovina se jaksi obrátí na ruby kolem samodružné kružnice - odtud získala kruhová inverze své jméno.
4) Přímka procházející středem (tj. bodem S) je samodružná.
5) Přimka neprocházející středem se zobrazí na kružnici procházející středem a naopak.
6) Kružnice neprocházející středem se zobrazí na kružnici neprocházející středem.
7) Úhel mezi křivkami se zachovává, pokud průsečík těchto křivek není bod S.
Využití:
Poměrně známým užitím jsou tzv. Appoloniovy úlohy. Některé tyto úlohy lze šikovně vyřešit za pomoci kruhové inverze. Zkusme například sestrojit kružnici dotýkající se dvou daných kružnic a procházející daným bodem (neležícím na žádné z kružnic). Provedeme kruhovou inverzi se středem v daném bodě. Při ní přejdou dané kružnice opět v kružnice (bod 6), hledaná kružnice přejde v přímku neprocházející středem (bod 5), jejich společnou tečnu. A tu už není problém zkonstruovat. Všimněte si, že nezáleží na poloměru, s nímž inverzi provádíme. To je poměrně častý případ - jde nám jen o to, zda obraz bude přímka či kružnice, na jejich poloze a velikosti nezáleží.
Dalším a naoko náročnějším příkladem se blíže zabýval Matematický korespondenční seminář 96/97 Radka Erbana a Roberta Šámala ve 4. sérii. Uvedu zde jen zadání, případným zájemcům jsem ochoten brožurku půjčít. Je dána kružnice k a dva různé body L, M ležící na k. Kružnice l (resp. m) se dotýká k v bodě L (resp. M), navíc se l a m dotýkají v bodě B. Jsou-li kružnice k a body L, M pevné, jaká je množina všech bodů B?
Mersenova čísla
Marin Mersenne byl francouzský matematik přelomu 16. a 17. století, který se zabýval vyhledáváním prvočísel, která mají tvar
Mn = 2n - 1
kde n je přirozené číslo. V čem spočívá jejich význam? V tom, že známe větu vyjadřující nutné a postačující podmínky k tomu, abychom mohli rozhodnout, zda je dané Mersenovo číslo Mn prvočíslem nebo nikoliv. Uveďme zde jen, že Mersenovo číslo může být prvočíslem jen tehdy, je-li n prvočíslo, a že do roku 1981 bylo známo celkem 26 různých Mersenových prvočísel pro n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 617, 1 279, 2 203, 2 281, 3 217, 4 253, 4 423, 9 689, 9 941, 11 213, 19 937, 21 701 a 44 497.
Najdi číslo
Čísel začínajících jedničkou je nekonečně mnoho, ale mezi nimi jsou taková, která se zdvojnásobí, jestliže jejich poslední číslici přesuneme na začátek. Najděte jedno takové číslo a popište postup řešení úlohy.
Řešení:
Vlastnosti hledaného čísla:
- Číslo musí začínat číslicemi 1, 0, ... a na konci musí být ...42 (proč?).
- Přemístíme-li dvojku na první místo, bude hledané číslo vypadat takto: 210 ... 4.
- Číslice, stojící na místě teček, najdeme tak, že budeme násobit číslice 4 atd. dvěma tak dlouho, až dostaneme součin 10; 4 . 2 = 8. píšeme 8; 8 . 2 = 16, píšeme 6 a přenos je 1; 6 . 2 + 1 = 13, píseme 3 a přenos je 1; 3 . 2 + 1 = 7, píšeme 7; 7 . 2 = 14, píšeme 4 a přenos je 1 atd., až dojdeme k součinu 10.
Hledané číslo je 105 263 157 894 736 842.
Jestliže dvojku přeneseme z posledního místa na první, dostaneme číslo: 210 526 315 789 473 684, které je dvakrát větší.
Další taková čísla dostanete tak, že naše první "hledané číslo" napíšete k-krát za sebou, takže vám vzniknou čísla 36-, 54-, 72-, ... ciferná. Zajímavé, že?
Nekonečno
Matematika zná dva typy nekonečna - potenciální a aktuální. Potenciální nekonečno je takové, které se chápe jako neomezený proces, při němž některá veličina roste nade všechny meze. Aktuální nekonečno se užívá v teorii množin při vyšetřování mohutnosti nekonečných množin.
Příklad:
Jak známo, je posloupnost přirozených čísel 1, 2, ..., n, ... nekonečná. Kolik je v této posloupnosti čísel dělitelných třemi?
Penroseův trojúhelník
Typ grafického paradoxu. Těmito typy kreseb se blíže zabývá holandský grafik M. C. Escher.
Prvočísla a jejich množství
Prvočíslo je přirozené číslo, které má právě dvě různá přirozená čísla za dělitele, a to číslo 1 a samo sebe. Přirozené číslo, které má aspoň 3 různé dělitele, se nazývá číslo složené. Číslo 1 není ani prvočíslo ani číslo složené, neboť má jediného dělitele, samo sebe. Všechny prvočísla jsou lichá s výjimkou čísla 2, protože každé sudé číslo je kromě čísla 1 a samo sebe dělitelné i dělitelem 2 (u dvojky je to právě samo sebou).
Každé složené přirozené číslo lze zapsat jako součin několika prvočísel, a to až na pořadí činitelů, jediným způsobem. Tomuto zápisu se říká kanonický rozklad čísla v prvočinitele.
Podívejme se na prvních 25 prvočísel:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, …
Kolik prvočísel existuje? Nekonečně mnoho. Můžeme to dokázat? Zdá se to neuvěřitelné, ael skutečnost, že je prvočísel nekonečně mnoho, dokázal řecký matematik Euklides již ve 3. století př. n. l.
Především si řekněme, že se jedná o typ důkazu sporem. Podstata důkazu sporem spočívá v tom, že předpokládáme platnost určitého tvrzení, na základě tohoto tvrzení dospějeme k závěrům, které jsou s tímto předpokladem ve sporu, a tak vlastně dokážeme, že předpokládané tvrzení neplatí a platí tvrzení opačné.
Nejprve si všimněte následujících rovností:
(2 . 3) + 1 = 7,
(2 . 3 . 5) + 1 = 31,
(2 . 3 . 5 . 7) + 1 =211.
Co z těchto rovností vyplývá? Důležitý závěr - připočteme-li k součinu prvočísel číslo 1, nemůže být výsledek dělitelný beze zbytku ani jedním z těchto prvočísel a dělením vychází vždy zbytek 1.
Jestliže si tuto skutečnost dobře uvědomíme a přijmeme za prokázané, že každé přirozené číslo n > 1 je dělitelné alespoň jedním prvočíslem, pak následující Euklidův důkaz o nekonečném počtu prvočísel pochopíte již snadno.
Předpokládejme opačné tvrzení, že počet prvočísel je konečný. Označme počet těchto prvočísel n a všechna jednotlivá prvočísla p1, p2, p3, …, pn. A teď si všimněme čísla
P = (p1 . p2 . p3 . … pn) + 1.
O čísle P, jak jsme si objasnili, víme, že není dělitelné ani jedním prvočíslem p1, p2, p3, …, pn. Ale také víme, že je každé přirozené číslo dělitelné alespoň jedním prvočíslem. A tak jsme dostali další prvočíslo, což je ovšem v rozporu s předpokladem, že kromě prvočísel p1, p2, p3, …, pn žádné jiné neexistuje. A to tedy znamená, že předpoklad o konečném počtu prvočísel nebyl správný a platí opačné tvrzení, že prvočísel je nekonečně mnoho.
Nezasluhuje si Euklides a jiní starověcí matematici žijící před 2 000 lety obdiv?
Další užitečnou věcí, kterou bych zde rád uvedl, je vyhledávání prvočísel. Platí věta:
Není-li dané přirozené číslo n dělitelné žádným prvočíslem p ≤ √n, pak je dané přirozené číslo n prvočíslem.
S touto větou souvisí i tzv. Eratosthenovo síto, které je stručně vysvětleno pod tímto pojmem.
Obecně dosud neexistuje žádná formule či vzoreček, který by umožňoval vyhledávát prvočísla. Uveďme si pro představu Eulerův vzorec, který o to pokoušel:
p = n2 + n + 41,
z něhož lze po dosazování přirozených čísel n = 1, 2, 3, …, 39 vypočítat prvočísla 43, 47, 53, …, 1 601.
Prvočíslo 2 903 vypočteme při volbě n = 53, prvočíslo 5 297 při volbě n = 72, ale při volbě n = 40 dostaneme složené číslo 1 681 dělitelné číslem 41, a tak Eulerům vzorec pro libovolné n neplatí.
Podobně známe vzorce
|
p = 2n2 + 29 | pro n = 1, 2, 3, …, 28,
| p = n2 - 79n + 1 601 | pro n = 1, 2, 3, …, 79 | |
i další, ale jak již bylo řečeno, všeobecně platný vzorec zatím nalezen nebyl. Pro zájemce bych doporučil vyhledat si něco o Fermatových a Mersenových číslech (a ty dále souvisejí s dokonalými čísly)
Přirozená čísla
Čísla (0), 1, 2, 3, 4, … (nula je ve středoškolské matematice často z přirozených čísel vylučována).
Přirozená čísla vznikla jako prostředek k označení počtu předmětů, osob, apod. V současné matematice se přirozená čísla zpravidla definují jako tzv. mohutnosti konečných množin. Každé přirozené číslo má jediného následovníka. Každé přirozené číslo kromě 0 má jediného předchůdce: číslo 0 nemá předchůdce.
Nauku o přirozených číslech lze vybudovat na základě soustavy axiómů, kterou poprvé podal italský matematik Giuseppe Peano v roce 1889. V současné úpravě tato soustava zní:
|
I. | Ke každému přirozenému číslu existuje jediné přirozené číslo zvané jeho následovník.
| II. | Existuje jediné přirozené číslo, které není následovníkem žádného přirozeného čísla; toto číslo značíme 0.
| III. | Různá přirozená čísla mají různé následovníky.
IV.
| Nechť má množina M tyto vlastnosti:
a) obsahuje číslo 0,
b) s každým přirozeným číslem, které obsahuje, obsahuje i jeho následovníka.
Potom obsahuje množina M všechna přirozená čísla.
| | | |
Obvykle se označuje množina všech přirozených čísel písmenem N; pak N = {0, 1, 2, …}.
Někdy se 0 nepočítá mezi přirozená čísla. Abychom se vyhnuli nejasnosti, je vhodné čísla 1, 2, 3, 4, … nazývat kladná celá čísla. Množina všech kladných celých čísel se často označuje znakem Z+.
Reciproká rovnice n-tého stupně
Algebraická rovnice n-tého stupně anxn + an-1xn-1 +…+ a1x + a0 = 0, pro jejíž koeficienty aj, kde j = 0, 1, 2, …, n platí:
aj = an-j potom jde o reciprokou rovnici 1. druhu, nebo aj = - an-j potom jde o reciprokou rovnici 2. druhu.
Má-li reciproká rovnice kořen s, má i kořen 1/s.
Příklad:
- 5x4 - 26x3 + 10x2 - 26x + 5 = 0 je reciproká rovnice 1. druhu 4. stupně, její kořeny jsou -i, i, 5, 1/5;
- 6x5 - 41x4 + 97x3 - 97x2 + 41x - 6 = 0 je reciproká rovnice 2. druhu 5. stupně, její kořeny jsou 1, 2, 1/2, 3, 1/3.
Reciproké číslo
Též převrácené číslo; ke každému číslu x různému od nuly extistuje právě jedno číslo y takové, že x . y = 1; je tedy y = x-1 nebo y = 1/x. Takové číslo nazýváme reciproké (převrácené) k číslu x. Číslo reciproké k číslu 0 neexistuje.
Repunit
Číslo složené ze samých jedniček, tj. 11, 111, 1 111… (samotné číslo 1 mezi ně nepočítáme). Název je zkratkou anglického repeated unit (opakovaná jednička) a zavedl ho americký matematik Albert Beiler. Provádíme-li s repunity početní operace, dostáváme různá pěkná čísla: druhá mocnina repunitu 112 = 121, 1112 = 12321, 1 1112 = 1234321 a tak dále, zkuste si to sami…
Rodné číslo
Všichni víme, že rodná čísla zapsaná v občanském průkazu jsou základním identifikačním znakem každého občana. Jsou buď devítimístná, nebo v posledních letech desetimístná, přičemž první dvě místa odpovídají poslednímu dvojčíslí roku, … a po lomítku následuje čtyřmístné číslo označující pořadí chlapců a děvčat narozených v jednom dni. Na tom by nebylo nic zajímavého, to zná každý a vesměs k ničemu nám to není, ale kolik z vás ví, že každé rodné číslo je beze zbytku dělitelné číslem 11? Přesvědčte se o tom sami…
Spřátelená čísla
Spřátelenými čísly se nazývají dvě různá přirozená čísla a, b takových vlastností, že se součet všech vlastních dělitelů čísla a rovná číslu b a naopak.
Nejjednodušším příkladem spřátelených čísel je dvojice čísel 220 a 284. Dalšími jsou například čísla 17 296 a 18 416 nebo čísla 9 363 584 a 9 437 056. Těmito čísly se zabýval Euler a v roce 1749 napsal a vydal o nich celý spis.
Transcedentní číslo
Je to takové číslo, které není kořenem žádné algebraické rovnice s celočíselnými koeficienty, např. čísla p, e.
Trisekce úhlu
Úloha rozdělit v nákresně daný libovolný úhel pravítkem a kružítkem na tři stejné úhly. Úlohu se marně obecně pokoušeli řešit starověcí matematici. Dnes víme, že konstrukci třetinového úhlu obecně provést nelze, neboť úloha vede na rovnici 3. stupně, jejíž řešení nelze obecně převést na řešení rovnic kvadratických. Některé speciální úlohy ovšem pravítkem a kružítkem rozdělit na 3 stejné úhly lze, např. úhly 45°, 90°, 180°.
Pozn.: Je dokázáno, že ty konstrukce, které lze sestrojit pomocí pravítka a kružítka, lze také sestrojit jen pomocí kružítka.
Univerzální sedmička
Slovní pojmenování sedmičky je příbuzné nejen v indoevropských jazycích, ale i v semitských včetně arabštiny a hebrejštiny a zdá se, že kořen se dokonce shoduje i v dalších jazycích kromě uvedených skupin. V indoevropských jazycích lze zjistit sedm v latinském septem, irském seacht, gótském seabun, řeckém heptá (původně septá), albásnkém shtátë, slovanském sedm (v moderní ruštině sem), litevském septyni, sanskrtském saptan, iránském haft, hetitském şipta a tocharském şpät, nemluvě o jazycích nám bližších - francouzském sept a německém sieben. V semitských jazycích se sedm označuje arabsky sab´, aramejsky şeva´, maltsky jako sebgha, amharsky jako sebat, syrsky (což je aramejské nářečí) şav´o a v akkadštině, kterou se kdysi hovořilo v Mezopotámii, sibu. Ve finštině je to seitsemän, v maďarštině hét, v egyptštině sefen, v koptštině şaşf, v tuaregštině sa, ve svahilštině saba, v khmerštině satta a v malajštině sapta.
Vědní obory matematické
Jména některých vědních oborů studujících čísla mají poněkud zvláštní původ:
- matematika - z řeckého mathema, učení
- ARITMETIKA - z řeckého arithmetike tekhne, umění počítat
- ALGEBRA - z arab. al-džabr, obnovení spojení: tento termín se původně užíval v souvislosti se srůstem zlomené kosti, později se scelováním čehokoli zlomeného, též se "scelováním" čísel
- GEOMETRIE - z řec. geometria, měření země
- TRIGONOMETRIE - z řec. trigonon, trojúhelník a metron, měření
Vlastní dělitel
Vlastní dělitel přirozeného čísla n se nazývá každý jeho dělitel menší než n.
Př.: Pro číslo 6 jsou vlastní dělitelé tohoto čísla čísla 1, 2, a 3, pro číslo 15 to jsou 1, 3 a 5.
Zatržená číslice...
Myslete si libovolné vícemístné číslo - např. 847. Nyní odečtěte od tohoto čísla jeho ciferný součet a dostanete číslo nové - 847 - 19 = 828. V této chvíli zatrhněte kteroukoli číslici a ostatní mi povězte a já jsem, přestože jsem vaše číslo předem neznal a neviděl, co s ním provádíte, schopen vám ihned říci, kterou číslici jste zatrhl.
Jak to můžu dokázat? Jaké je rozluštění "kouzelného kousku"?
Řešení:
Je to velmi prosté: vyhledá se číslice, jež přičtena k součtu číslic, které vám byly řečeny, dává nejbližší číslo dělitelné beze zbytku devíti. Byla-li např. v čísle 828 zatržena první číslice (8) a vám byly sděleny číslice 2 a 8, pak po sečtení 2 + 8 = 10 zjistíte, že do nejbližšího čísla dělitelného devíti, tj. do 18 - chybí 8. A to je právě zatržená číslice.
Proč to tak je? Proto, že odečteme-li od libovolného čísla součet jeho číslic, dostaneme nutně číslo dělitelné devíti, jinak řečeno takové číslo, jehož součet číslic je dělitelný devíti. Vskutku - budiž ve zvoleném trojciferném čísle (bez újmy na obecnosti) číslice vyjadřující sta - a, číslice vyjadřující desítky - b a číslice vyjadřující jednotky - c. Velikost čísla je tedy
100a + 10b + c.
Odečteme-li od tohoto čísla součet jeho číslic a + b + c, dostaneme:
100a + 10b + c - (a + b + c) = 99a + 9b = 9 (11a + b),
což je číslo dělitelné 9. Otečteme-li tedy od libovolného čísla součet jeho číslic, dostaneme vždy číslo dělitelné devíti beze zbytku.
Při tomto postupu řešení se ovšem může stát, že součet číslic, které vám budou sděleny, bude sám dělitelný devíti, potom vám ovšem nezbývá nic jiného, než odpovědět, že zatržená číslice bude buď O nebo 9, kdy nejste schopni blíže určit, která z těchto dvou možnosti je správná...
Zbytek po dělení?
Představte si, že byste měli zjistit, jaký dostaneme zbytek po dělení čísla
číslem 9. Zdá se to nemožné? Ale ne, to jen tak škaredě vypadá. Pokusím se vám zde předvést (bohužel bez důkazu, tak to berte s rezervou a pokud by to četl někdo, kdo je zběhlejší v této činnosti, prosím o upřesnění a případné opravy…) jeho řešení.
Matematický zápis této úlohy vypadá následovně:
1) Nejprve zjistíme, jaké zbytky může dávat číslo 7n po dělení 9:
70 ≡ 1 (mod 9)
71 ≡ 7 (mod 9)
72 ≡ 4 (mod 9)
73 ≡ 1 (mod 9)
70 ≡ 7 (mod 9)
70 ≡ 4 (mod 9)
70 ≡ 1 (mod 9)
. . . |
| Jak je vidět, dostáváme pouze 3 různé zbytkové třídy, které se periodicky opakují. Proto by nás zajímalo, kam se dostaneme díky vyššímů mocniteli v této periodě, jestli na pozici jedna, dvě nebo tři. Tedy, nyní budeme dělit vyššího mocnitele touto periodou, přesněji její délkou, abychom zjistili, na které části této periody nakonec zůstaneme. |
2) Budeme zjišťovat zbytky po dělení čísla 8n číslem 3 (délka předchozí periody):
80 ≡ 1 (mod 3)
81 ≡ 2 (mod 3)
82 ≡ 1 (mod 3)
83 ≡ 2 (mod 3)
84 ≡ 1 (mod 3)
. . .
|
|
Nyní jsme dostali jenom 2 různé zbytky, zbytkové třídy, proto by nás opět zajímalo, ve které části této periody se zastavíme. To zjistíme znovu tím, že o řáda vyššího mocnitele budeme dělit délkou této periody a tím se pokusíme zjistit, kam bychom se dostali. |
3) Hledáme zbytky po dělení čísla 9n číslem 2:
90 ≡ 1 (mod 2)
91 ≡ 1 (mod 2)
92 ≡ 1 (mod 2)
. . .
|
|
V této chvíli jsme takřka u konce, protože jsme zjistili, že v tomto případě dostáváme jen jeden zbytek a to je číslo 1.
|
Následuje jednoduchý postup vedoucí ke zdárnému konci, který se ovšem dost neobratně vysvětluje, ale budiž....
Jestliže dostaneme při nějakém dělení pouze jeden zbytek (v našem případě je to číslo 1), pak budeme postupovat zpětně k předchozímu kroku k tomu řádku, ve kterém je mocnitel čísla roven našemu konečnému zbytku (tedy mocnitel 1, řádek obsahující 81 ≡ 2 (mod 3)). V této chvíli jsme opět vlastně určili polohu v periodě předcházejícího kroku, protože zbytek v tomto řádku je 2, přecházíme o krok zpět do řádku, ve kterém je číslo umocněno na druhou (neboli 72 ≡ 4 (mod 9)) a jelikož je již tento řádek v našem postupu nejvýše, dostáváme zbytek po dělení čísla
číslem 9, který je 4.
A to je celé. Snad jen metoda, jak postupovat při určování zbytku v periodách například pro 3n děleno 7:
- pro 30 ≡ 1 (mod 7) je vše jasné, to zpaměti zvládneme
- pro 31 ≡ 3 (mod 7) je také vše jasné, ale již teď si všimněte, zbytek po dělení z předchozího řádku vynásobený třemi dává stejný zbytek jako 31
- pro 32 ≡ 2 (mod 7) opět není co dodat (viz předchozí řádek)
- pro 33 ≡ 6 (mod 7) - v této chvíli by si někdo již nemusel vzpomenou, kolik je 33, proto by mohl použít fintu (která vlastně není vůbec fintou a lze ji úplně jednoduše dokázat, ale to nechám na aktivních řešitelích), která mí radí, že stačí v našem případě vynásobit předchozí zbytek třemi a u tohoto součinu pak zjistit zbytek po dělení 7, neboli 2 . 3 = 6, 6 ≡ 6 (mod 7)
- pro 34 ≡ 4 (mod 7) - pochybuji, že všichni ví, že 34 je 81, a proto stačí, když budete vědět, že 6 . 3 = 18 a 18 ≡ 4 (mod 7)
- pro 35 ≡ 5 (mod 7) je to obdobné, neboť 4 . 3 = 12 a 12 ≡ 5 (mod 7)
Dále již se zbytky opakují, jak se můžete přesvědčit, tudíž můžeme řící, že charakteristickou posloupnost v této úloze tvoří čísla 1, 3, 2, 6, 4 a 5.
Slon a komár
Jeden milovník matematických zábav se onehdy zabýval různými přeměnami algebraických výrazů a přišel k podivnému závěru, že váha slona se rovná váze komára. Usuzoval takto:
Nechť x je váha slona a y váha komára. Součet těchto vah označíme 2v:
x + y = 2v
Z této rovnice můžeme dostat ještě dvě další:
x - 2v = -y , x = -y + 2v
Levé i pravé strany obou rovnic navzájem vynásobíme:
x2 - 2vx = y2 - 2vy
Přičteme k oběma stranám poslední rovnice v2, a dostaneme:
x2 - 2vx + v2 = y2 - 2vy + v2 , čili (x - v)2 = (y - v)2.
Obě strany poslední rovnice odmocníme a dostaneme x - v = y - v , čili x = y , to znamená, že váha slona (x) se rovná váze komára (y).
Poznáte, kde je chyba?
Ü‚„‚
